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一、單項題的備選項中只有一個最符合題意，錯選、多選均不得分。

1．某簡易起重設(shè)備的吊車大梁如圖6(a)所示。梁AB由20a工字鋼制成，在中間一段的上下兩面焊上長度為2．2m，寬度為120mm，厚度為10mm的鋼板。已知材料的許用應(yīng)力［σ］=152MPa，［t］=95MPa。荷載P在全梁移動，則梁的容許荷載［P］為( )。

A．［P］=35．7kN
B．［P］=55．4kN
C．［P］=114kN
D．［P］=51．4kN

正確答案:A　解題思路：這在彎曲應(yīng)力和彎曲強度中是一個綜合性較強、影響因素較復(fù)雜的一個題。既要考慮正應(yīng)力強度，又要考慮剪應(yīng)力強度，同時還要考慮荷載移動時可能產(chǎn)生的幾種最不利情況。現(xiàn)分析如下：由于荷載是移動的，有三種最不利的荷載位置：考慮正應(yīng)力強度時，當荷載作用在跨中C點時(圖6b)，該截面的彎矩是全梁的絕對最大彎矩；當荷載P作用在D(或E)點時(圖6a)，該截面的彎矩M

(或M

)是荷載在移動過程中該截面彎矩的最大值，也是未加強段截面彎矩的最大值。考慮剪應(yīng)力強度時，當荷載P緊靠支座A(或B)時(圖6f)，靠近支座的截面的剪力最大。
1．荷載作用在跨中C點時，由C截面的正應(yīng)力強度求[P]。
當荷載P作用在跨中C點時如圖6(b)，其彎矩圖如圖6(c)所示，C截面的彎矩是全梁的絕對最大彎矩
M

=5P/4=1．25P(1)
設(shè)工字鋼的慣性矩為I

，抗彎截面系數(shù)為W

，而中間加強部分截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)為I′

、W′

。查型鋼表
I

=2370×10

，W

=237×10

I′

=2370×10

+2×(10×120×105

×10

)=5020×10

這里鋼板對其自身形心軸的慣性矩很小，已略去。
W′

=I′

/y′

=5020×10

/110×10

=456×10

由正應(yīng)力強度條件得
M

≤W′

[σ]=456×10

×152×10

=69．3×10

N·m=69．3kN·m(2)
由式(1)、式(2)兩式得容許荷載
[P]

=4M

/5=4/5×69．3=55．4kN(3)
2．荷載作用在D點時，由D截面的正應(yīng)力強度求[P]。
當荷載P作用在D點時(圖6d)，其彎矩圖如圖6(e)。
M

=1．008P(4)
由正應(yīng)力強度條件得
M

≤W

[σ]=237×10

×152×10

=36．0×10

N·m=36．0kN·m(5)
由式(4)、式(5)兩式得[P]

/1．008=36．0/1．008=35．77kN(6)
3．當荷載趨近A截面時，由A右截面的剪應(yīng)力強度求[P]。
此時Q

≈P(7)
查型鋼表I

／S

=17．2cm，d=7mm，由剪應(yīng)力強度條件得
Q

≤I

d[t]/S

=17．2×10

×7×10

×95×10

=114×10

N=114kN(8)
由式(7)、式(8)得
[P]

=114kN(9)
比較式(3)、式(6)、式(9)得
[P]=35．7kN
所以答案A是正確的。答案B的錯誤是誤認為[P]是由P力作用在C截面時，由C截面的正應(yīng)力強度決定的；答案C的錯誤是誤認為[P]是由剪應(yīng)力強度決定的；而答案D的錯誤是誤認為[P]是當P力作用在C截面時，由D截面的正應(yīng)力強度決定的。

2．用疊加法求圖7懸臂梁自由端B的轉(zhuǎn)角θ

和撓度f

為( )。

A．θ

=9ql

/48EI，f

=48ql

/384EI
B．θ

=ql

/12EI，f

=29ql

/384EI
C．θ

=ql

/12EI，f

=23ql

/384EI
D．θ

=7ql

/48EI，f

=41ql

/384EI

正確答案:D　解題思路：解：彎曲變形部分多考疊加法求梁的變形，因為疊加法可以利用已有表格，很快求出，工程上應(yīng)用很廣。但疊加法有多種：(1)荷載分解，變形疊加；(2)求梁不變形部分上的位移的疊加法；(3)逐段剛化法。這里結(jié)合本例闡明上述三種疊加法。
解法一
將圖7(a)所示荷載分解為圖7(b)和圖7(c)所示兩種荷載的疊加，即第一種疊加法，但在計算圖7(b)所示荷載的梁CB部分的位移需用到第二種疊加法。對于圖7(b)所示情況，
由表可查得
θ′

=ql

/6EI，f′

=ql

/8EI
對于圖7(c)所示情況，可查得
θ″

=-q(l/2)

/6EI=-ql

/48EI，f″

=-q(l/2)

/8EI=-ql

/128EI
由于BC段彎矩為零，變形后仍為直線，由第二種疊加法得
θ″

=θ″

=-q(l/2)

/48EI，f″

=f″

l/2=-7(l/2)

/384EI
疊加后得出
θ

=θ′

+θ″

=ql

/6EI-ql

/48EI=7ql

/48EIf

=f′

+f″

=ql

/8EI-ql

/384EI=41ql

/384EI
所以，答案D是正確的。
解法二
將實際荷載看做是由無窮多個微小集中力疊加而成(圖7d)，距左端為x處的微小集中力qdx所產(chǎn)生的變形可根據(jù)圖7(e)查表，它所引起的B截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別記作df

和dθ

，其值為
dθ

=(qdx)x

/2EIdf

=(qdx)x

(3l-x)/6EI
疊加即將上兩式從l/2到l區(qū)間積分，得出
θ

=JZ105_112_7_1.gifqx

dx/2EI=7ql

48EI
f

(3l-x)dx/6EI=41ql

/384EI
與解法一結(jié)果相同。
解法三
運用第三種疊加法即逐段剛化法，將圖7(a)分解為圖7(f)、(g)、(h)三種情形疊加。對于圖7(f)所示情況，查表得
θ′

=q(l/2)

/6EI=ql

/48EI，f′

=4(l/2)

/8EI=ql

/128EI
對于圖7(g)，查表有
θ″

=(ql/2)(l/2)

/2EI=ql

/16EI，f″

=(ql/2)(l/2)

/3EI=ql

/48EI
從而有
θ″

=θ″

=ql

/16EI，f″

=f″

+θ″

l/2=5ql

/96EI
對于圖7(h)，查表得
θ

=ql

/8(l/2)/EI=ql

/16EI，f

=ql

/8(l/2)/EI=ql

/64EI
故有
θ

=θ

=ql

/16EI，f

l/2=ql

/64EI
三者疊加，得
θ

=θ′

+θ″

+θ

=7ql

/48EI
f

=f′

+f″

=41ql

/384EI
結(jié)果與前兩種解法相同。在三種解法中，以解法二最簡便。
答案A中θ

的錯誤是因圖7(c)中θ″

的符號搞錯所致。f

的錯誤是θ″

的符號搞錯引起的；答案B的錯誤是因圖7(g)中未計入θ″

和θ″

引起的；答案C的錯誤是未計入圖7(h)中的θ″

和f″

引起的。

3．圖8(a)所示三向應(yīng)力狀態(tài)，其最大剪應(yīng)力為( )。

A．τ

=41．23MPa
B．τ

=14．4MPa
C．τ

=30MPa
D．τ

=55．6MPa

正確答案:D　解題思路：解：圖示單元體的一對平面是主平面，其主應(yīng)力σ

=60MPa。因為平行于主應(yīng)力σ′的面內(nèi)主應(yīng)力與σ′無關(guān)。此時，可以應(yīng)用疊加原理，將該單元體簡化為二向應(yīng)力狀態(tài)與單向應(yīng)力狀態(tài)疊加。
不考慮σ′的二向應(yīng)力狀態(tài)如圖8(b)所示。該二向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力為

考慮到σ′=60MPa，按σ

>σ

關(guān)系，單元體的主應(yīng)力為
σ

=60MPaσ

=31．23MPaσ

=-51．23MPa
單元體的最大剪應(yīng)力
τ

=σ

-σ

/3=60-(-51．23)/2=55．6MPa
所以D的答案正確。若未考慮σ′=60MPa的影響，就得A的錯誤答案。若未考慮σ

>σ

關(guān)系，就得 B的錯誤答案。若未考慮σ

，σ

的影響，就得出C的錯誤答案。

4．一鋼制圓軸受拉、扭組合荷載作用如圖9(a)所示，已知圓軸直徑d=20mm，材料彈性模量E=200GPa。如果采用直角應(yīng)變花在測定軸表面O點的應(yīng)變值：ε90°=96×10

，ε45°=565×10

，ε0°=320×10

，則轉(zhuǎn)矩M

為( )。

A．M

=294．5N·m
B．M

=160．1N·m
C．M

=136．5N·in
D．M

=109．4N·m

正確答案:D　解題思路：解：1．軸表面上的應(yīng)力狀態(tài)如圖9(b)所示

2．求橫截面上的正應(yīng)力
σ=Eε0°=200×10

×320×10

=64×10

Pa=64MPa(2)
3．求橫向變形系數(shù)
v=｜ε90°/ε0°｜=｜-96×10

/32×10

｜=0．3
4．由廣義虎克定律求剪應(yīng)力τ
先由斜截面上應(yīng)力公式求σ45°，σ-45°。

由廣義虎克定律，有
ε45°=1/E(σ45°-vσ-45°)=1/E[(σ/2+τ)-v(σ/τ)]=1/E[(v)σ/2+(1+v)τ](4)σ
由前已求得，ε45°已知，由此可求得
τ=

=69．7×10

Pa=69．7MPa
5．求外力偶矩M

由式(1)得
M

=πd[

τ/16=π×20

×10

/16×69．7×10

=109．4N·m
所以，答案D是正確的。
若將橫向變形系數(shù)誤計為v=｜ε0°/ε90°｜=3．33，得A的錯誤答案，實際上v<0．5；若不將v取絕對值，即誤認為v=-0．3，就得出B的錯誤答案；若不考慮軸向正應(yīng)力ε對ε45°的影響，就得到C的錯誤答案。
注意，平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律只要兩正應(yīng)力相互垂直即可應(yīng)用。

5．已知軸的轉(zhuǎn)速n=183．5r／min，材料為45號鋼，G=80GPa．［τ］=40MPa，［θ］=1．5°／m，三個齒輪的輸入，輸出功率分別為N

=3．736kW，N

=0．756kW，N

=2．98kW。此軸的最合理的直徑為：