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　　學習目標

　　1了解點估計及其無偏性的概念

　　2掌握正態均值、方差、標準差的常用點估計

　　3熟悉正態概率紙的使用

　　一 點估計的概念

　　設 是總體的一個未知參數，從該總體中隨機抽取樣本量為 的樣本 ，那么用來估計未知參數 的一個統計量 稱為 的點估計量，或簡稱為 的估計。本節主要敘述正態分布中均值、方差與標準差的點估計。

　　二 無偏性概念

　　1 無偏估計的概念

　　由于估計量 是樣本的函數，即使是從同一總體中獲得的不同樣本，所得到的估計值也不一定相同，因此 是一個隨機變量，評價其優劣不能從一個估計值去評判，應該根據其平均值來評定。

　　定義1：設 為未知參數 的一個估計量，如果E( )= ，則稱 為 的無偏估計量。無偏估計量的值，稱為無偏估計值。

　　解釋：無偏性是對估計量的一個最重要、最常見的要求。從實際應用的角度看，無偏估計的意義在于：當這估計量經常使用時，它保證了在多次重復的平均意義下，給出接近于真值的估計。

　　2 無偏估計的條件

　　等價于：

　　其中 是估計量 與真值 的偏差，此種偏差是隨機的，它可可小，可正可負。

　　如某商店每天從工廠進貨，按每日抽樣廢品率的小來付款。就一天而言，兩方中有一方可能吃一點虧，但如果選用的估計量是無偏的，則從長期來看，誰也不會吃虧，辦法是公平的。

　　3 無偏估計的意義

　　無偏估計的含義是：每次使用 估計 是會有偏差的，但多次使用它，偏差的平均為零。

　　注釋：對任何總體來說，總有：

　　(1)樣本均值 是總體均值 的無偏估計，因為 ;

　　(2)樣本方差s2是總體方差 的無偏估計，因為 ;

　　(3)樣本標準差 不是總體標準差的無偏估計，因為總有 ，所以s是 的有偏估計。

　　例1 設(X1，X2，…，Xn)為取自總體X的簡單隨機樣本，則樣本均值 和樣本方差 分別是總體均值m 和方差s 2的無偏估計。

　　注：雖然我們希望一個估計量是無偏的，但也不能絕對化。因為無偏估計的優良性只有在反復使用的情況下，才能表現出來，如果不是經常使用，無偏性就沒有多意義。

　　譬如說， 雖然是 的無偏估計，但它取值比較分散(方差); 雖然是有偏的，但取值集中在 的真值附近(E( - )2比較小)，如果不是經常用，那么用 可能比用 還會好些。